définition :
Soit \(E\subset\Bbb R\). On dit que \(E\) est dense dans \(\Bbb R\) si $$\forall x\in\Bbb R,\exists(x_n)_{n\in\Bbb N},x_n\in E,\forall n\geqslant0,x_n\underset{n\to+\infty}\longrightarrow x$$
(Réel - Nombre réel)
Théorème :
\(\Bbb Q\) est dense dans \(\Bbb R\)
Démonstration : soit \(x\in\Bbb R\)
Soit \(x_n=\frac{E(10^nx)}{10^n},n\geqslant0\)
De plus, \(E(10^nx)\leqslant10^nx\lt E(10^nx)+1\)
En divisant par \(10^n\), on obtient : $$\begin{align}&x_n\leqslant x\lt x_n+\frac1{10^n}\\ \implies&0\leqslant x-x_n\lt \frac1{10^n}\end{align}$$
$$\frac1{10}\in[0,1\implies\frac1{10^n}\underset{n\to+\infty}\longrightarrow0$$
D'après le théorème des gendarmes, \(x-x_n\underset{n\to+\infty}\longrightarrow0\)
Donc \(x_n\underset{n\to+\infty}\longrightarrow x\)]
Remarque :
\(\Bbb R\setminus\Bbb Q\) est aussi dense dans \(\Bbb R\)
En effet, si \(x\in\Bbb R,x_n=\frac{E(10^nx)}{10^n}\frac\pi n\)
Alors \(x_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}x\) et \(x_n\in\Bbb R\setminus\Bbb Q\) (car \(\pi\in\Bbb R\setminus\Bbb Q\))
